- Stefan Vorkoetter
Isaac Newton hat vor über 300 Jahren ein Verfahren vorgeschlagen, um nicht-lineare Gleichungen zu lösen. So findet das Verfahren etwa eine Lösung für die folgende Gleichung
x² - 6 x + 5 = 0
Das Verfahren beginnt mit einer Schätzung und verbessert diese mit jedem Schritt ein wenig. Die erste Schätzung heißt x0, die zweite dann x1, und so weiter. Die Verbesserung x1 ergibt sich aus der Schätzung x0 wie folgt.
x1 = x0 - f(x0) / f´(x0)
In dieser Gleichung ist f(x) = x² - 6x + 5 und f´(x) die Ableitung von f(x) - also f´(x) = 2x - 6.
Schaue wir uns einmal an, wie sich die Werte entwickeln, wenn wir mit der Schätzung x=10 beginnen.
x f(x) f´(x) x-f(x)/f´(x) 10.0 45.0 14.0 6.79 6.79 10.33 7.57 5.42 5.42 1.86 4.84 5.04 5.04 0.15 4.07 5.0003 5.0003 0.001 4.0006 5.00000003
Man kann gut erkennen, wie sich die X-Werte langsam der 5 annähern, während die Werte von f(x) gegen 0 streben. Wir schauen, ob es nicht noch eine weitere Lösungen gibt. Immerhin haben quadratische Gleichungen ja bis zu zwei Lösungen. Wir probieren es diesmal mit dem Startwert -10.
x f(x) f´(x) x-f(x)/f´(x) -10.0 165.0 -26.0 -3.65 -3.65 40.27 -13.31 -0.63 -0.63 9.16 -7.26 0.63 0.63 1.59 -4.73 0.97 0.97 0.11 -4.06 0.99 0.99 0.0008 -4.0003 0.9999999904
Hier erkennen wir, wie die Werte von x gegen 1 streben, während f(x) gegen 0 strebt. Einsetzen von x=1 und x=5 ergibt auch tatsächlich in beiden Fällen den Wert 0. Wir haben unsere Lösungen gefunden.
Leider funktioniert das Verfahren nicht immer. Prüfe doch einmal, was für die Gleichung f(x) = x³ - 2x + 2 und den Startwert x=0 passiert. Was kannst du feststellen?
Man kann das Verfahren natürlich auch mit beliebigen anderen Gleichungen durchführen. Und weil es so einfach ist, habe ich ein kleines Python-Programm geschrieben, das für quadratische Gleichungen die Lösung ermittelt. Versuche doch einmal, das Programm für kubische Gleichungen oder Gleichungen vierten Grades zu erweitern.
MAX_ITERATIONEN = 100
GENAUIGKEIT = 0.1
def newton(a, b, c, startwert):
""" Bestimmt eine Lösung der Gleichung ax² + bx + c = 0
für einen gegebenen Startwert. """
xn = startwert * 1.0
fx = 1.0
numIterationen = 0
while abs(fx) > GENAUIGKEIT and numIterationen < MAX_ITERATIONEN:
fx = f(a, b, c, xn)
fx_ = f_(a,b,c, xn)
xn = xn - fx / fx_
numIterationen += 1
if numIterationen >= MAX_ITERATIONEN:
return float('NaN')
else:
return xn
def f(a,b,c, x):
""" Berechne f(x) = ax² + bx + c """
return a*x*x + b*x + c
def f_(a,b,c, x):
"""Berechne f'(x) = 2ax + b"""
return 2*a*x + b
Das Programm kann nun mit newton(a,b,c, startwert) aufgerufen werden, wobei a,b,c und d für die Koeffizienten in f(x) = ax² + bx + c stehen.